Bien répartir les bonbons - Corrigé

Énoncé

Un confiseur souhaite répartir \(715\) bonbons à l'orange et \(1\,105\) bonbons au citron dans des sachets. Il doit utiliser tous les bonbons, et faire en sorte que la répartition soit la même dans chaque sachet.

1. Démontrer que cette répartition est possible, et déterminer le nombre maximal de sachets qu'il pourra ainsi fabriquer.

2. Combien de bonbons de chaque sorte y aura-t-il dans chaque sachet ?

Solution

1. On note \(n\) le nombre de sachets, \(a\) le nombre de bonbons à l'orange dans un sachet et \(b\) le nombre de bonbons au citron dans un sachet. On a alors \(na=715\) et \(nb=1\,105\) .

On en déduit que \(n\) est un diviseur commun à \(715\) et \(1\,105\) . La valeur maximale de \(n\) est donc \(\mathrm{PGCD}(715;1\,105)\) .

Calculons ce PGCD en utilisant l'algorithme d'Euclide :

\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline a&b&q&r\\ \hline 1\,105& 715& 1& 390\\ \hline 715& 390& 1& 325\\ \hline 390& 325& 1& 65\\ \hline 325& 65& 5& 0\\ \hline\end{array}\end{align*}\)  

donc \(\mathrm{PGCD}(715;1\,105)=65\) .

Ainsi, le confiseur peut constituer au maximum \(n=65\) sachets de bonbons.

2. Chaque sachet contiendra :

• \(a=\dfrac{715}{65}=11\) bonbons à l'orange ;
  
• \(b=\dfrac{1\,105}{65}=17\) bonbons au citron.